Chapter 7: Applications of Integration

写在前面：积分的几何直觉

在学习面积和体积之前，先建立一个核心直觉：

积分 = 把无数个"极细的小条/小片"的面积或体积加起来

计算面积时

我们把区域切成无数条极细的竖条（或横条），每条面积 ≈ 高度 × 宽度，把所有竖条加起来就得到总面积。

计算体积时

我们把立体切成无数片极薄的圆盘（或圆壳），每片体积 ≈ 截面积 × 厚度，把所有薄片加起来就得到总体积。

这个"切片加总"的思想贯穿本章所有方法。

7.1 两曲线之间的面积 (Area Between Curves)

知识点 1：基本公式

场景：已知上方曲线 $y = f(x)$ ，下方曲线 $y = g(x)$ ，在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \ge g(x)$ 。

直觉：在 $x$ 处，上下两条曲线之间的"竖条高度"是 $f(x) - g(x)$ ，宽度是 $dx$ 。把所有竖条加起来：

核心公式

A = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\, dx

注意顺序：一定是"上方曲线 − 下方曲线"，这样才能保证每个竖条的高度是正数。

知识点 2：面积恒为正

定积分（普通的 $\int_a^b f(x)\,dx$ ）是带符号的：如果曲线在 $x$ 轴下方，积分值是负数。

几何面积永远是正数，本质上是在计算 $\int_a^b |f(x)|\,dx$ 。

更一般地，两曲线之间的面积可以写成 $\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ 。

千万不要直接用定积分的值当面积！如果你直接计算

\int_a^b f(x)\,dx

得到了一个负数或者偏小的数，说明曲线可能穿过了

x

轴。此时不能简单地对整个积分结果取绝对值，而应先找零点分段，每段取正后相加。

知识点 3：上下关系改变时需要分段

如果两条曲线在区间中间交叉（即上下关系互换），就不能一步积分，必须：

先求交点（令两个函数相等，解出 $x$ ）
按交点把区间分段
每一段分别计算"上函数 − 下函数"的积分
把各段面积相加（全部取正数）

分段公式

A = \int_a^c \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx + \int_c^b \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx

例题精讲

例 1y = sin x 与 y = sin 2x 围成的面积

题目：求曲线 $y = \sin x$ 与 $y = \sin 2x$ 在 $x = 0$ 到 $x = \frac{\pi}{2}$ 之间围成的面积。

Step 1: 求交点

令 $\sin x = \sin 2x$

利用二倍角公式： $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ ，代入得：

\sin x(1 - 2\cos x) = 0

在 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ 内，交点为 $x = 0$ 和 $x = \frac{\pi}{3}$ 。

Step 2: 判断哪条曲线在上

在 $x = 0$ 到 $x = \frac{\pi}{3}$ 之间，代入中间点 $x = \frac{\pi}{6}$ ：

$\sin\frac{\pi}{6} = 0.5$
$\sin\frac{\pi}{3} \approx 0.866$

所以 $y = \sin 2x$ 在上方。

在 $x = \frac{\pi}{3}$ 到 $x = \frac{\pi}{2}$ 之间，代入中间点 $x = \frac{5\pi}{12}$ ：

$\sin\frac{5\pi}{12} \approx 0.966$
$\sin\frac{5\pi}{6} = 0.5$

所以 $y = \sin x$ 在上方。

Step 3: 建立并计算面积积分

A = \int_0^{\pi/3} (\sin 2x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2} (\sin x - \sin 2x)\,dx

第一段：

A_1 = \left[-\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x\right]_0^{\pi/3} = \frac{1}{4}

第二段：

A_2 = \left[-\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/3}^{\pi/2} = \frac{1}{4}

相加得：

最终答案

A = A_1 + A_2 = \boxed{\frac{1}{2}}

7.2 圆盘法与圆环法 (Disk / Washer Method)

知识点 1：从面积到体积的类比

概念	面积	体积
切片	宽为 $dx$ 的竖条	厚为 $dx$ 的薄片
每片大小	高度 × 宽度	截面积 × 厚度
求和	$A = \int_a^b f(x)\,dx$	$V = \int_a^b A(x)\,dx$

体积通用公式

V = \int_a^b A(x)\,dx

知识点 2：Disk Method（圆盘法）

适用场景：旋转后每个截面是实心圆盘（没有空洞）。

截面面积：圆盘半径为 $R$ ，面积 = $\pi R^2$

圆盘法公式（绕 x 轴）

V = \int_a^b \pi\,[R(x)]^2\,dx

关键：半径 R 怎么确定？

半径 = 旋转轴到曲线的垂直距离

知识点 3：Washer Method（圆环法）

适用场景：两条曲线围成的区域旋转后，截面是圆环形（有空洞）。

想象一个甜甜圈的横截面——外面是大圆，里面有个洞。

圆环法公式

V = \int_a^b \pi\bigl([R(x)]^2 - [r(x)]^2\bigr)\,dx

常见错误：不要写成

\pi(R-r)^2

！圆环是"大圆面积 − 小圆面积"，即

\pi R^2 - \pi r^2

。

例题精讲

例 2y = e^x 绕 x 轴旋转

题目： $y = e^x$ ， $y = 0$ ， $x = -3$ ， $x = 2$ ，绕 $x$ 轴旋转。

Step 1: 分析

$y = e^x$ 是指数曲线，在 $x$ 轴上方。绕 $x$ 轴旋转，每个截面是实心圆盘，用圆盘法。

Step 2: 确定半径

曲线到 $x$ 轴的距离就是 $y$ 的值： $R(x) = e^x$

Step 3: 建立积分

V = \int_{-3}^{2} \pi\,[R(x)]^2\,dx = \pi\int_{-3}^{2} e^{2x}\,dx

Step 4: 计算积分

V = \pi\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{-3}^{2}

最终答案

V = \boxed{\frac{\pi}{2}\left(e^4 - e^{-6}\right)}

例 3y = x² 与 y = 4 绕 y = 4 旋转

题目： $y = x^2$ 与 $y = 4$ ，绕直线 $y = 4$ 旋转。

Step 1: 找交点

$x^2 = 4$ ，解得 $x = \pm 2$

Step 2: 分析几何关系

抛物线 $y = x^2$ 在 $y = 4$ 下方，旋转轴是水平线 $y = 4$ 。

曲线到旋转轴的距离： $R(x) = 4 - x^2$

Step 3: 建立积分并计算

V = \int_{-2}^{2} \pi\,(4 - x^2)^2\,dx

展开 $(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$ ，利用对称性：

最终答案

V = \boxed{\frac{512\pi}{15}}

7.3 壳层法 (Shell Method)

知识点 1：壳层法的直觉

圆盘法的思路：把立体横着切成很多薄片（截面与旋转轴垂直）。

壳层法的思路：把立体竖着剥成很多层薄圆柱壳（截面与旋转轴平行），像一个洋葱一层一层剥开。

🧅 想象一个洋葱：每一层就是一个圆柱壳，把所有层的体积加起来就是整个洋葱的体积。

每一层圆柱壳的体积（展开成长方形薄板）：

长 = 圆周长 = $2\pi r$
宽 = 壳的高度 $h$
厚度 = $dx$

体积 ≈ $2\pi r \cdot h \cdot dx$

知识点 2：壳层法公式

绕竖直轴（如 y 轴）旋转，对 x 积分

V = \int_a^b 2\pi\, r(x)\, h(x)\,dx

绕水平轴（如 x 轴）旋转，对 y 积分

V = \int_c^d 2\pi\, r(y)\, h(y)\,dy

知识点 3：何时用圆盘法，何时用壳层法？

	圆盘/圆环法	壳层法
切片方向	垂直于旋转轴	平行于旋转轴
绕水平轴旋转	对 $x$ 积分	对 $y$ 积分
绕竖直轴旋转	对 $y$ 积分	对 $x$ 积分

记忆口诀：圆盘法：切片 ⊥ 轴；壳层法：切片 ∥ 轴

例题精讲

例 4y = 1/(1+x²) 绕 y 轴旋转

题目： $y = \frac{1}{1+x^2}$ ， $y = 0$ ， $x = 0$ ， $x = 1$ ，绕 $y$ 轴旋转。

Step 1: 选方法

绕竖直轴（ $y$ 轴），用壳层法（对 $x$ 积分）更方便。

Step 2: 确定半径和高度

半径：到 $y$ 轴的距离 = $r(x) = x$
高度： $h(x) = \frac{1}{1+x^2}$

Step 3: 建立积分

V = \int_0^1 2\pi \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}\,dx

Step 4: 换元积分

令 $u = 1 + x^2$ ，则 $du = 2x\,dx$

V = \pi\int_1^2 \frac{1}{u}\,du = \pi[\ln u]_1^2

最终答案

V = \boxed{\pi\ln 2}

例 5y = sin x 绕 y 轴旋转

题目： $y = \sin x$ ， $y = 0$ ， $0 \le x \le \pi$ ，绕 $y$ 轴旋转。

Step 1: 为什么用壳层法？

如果用圆盘法需要分段处理（因为 $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上先增后减），壳层法只需对 $x$ 积分，一步完成。

Step 2: 确定半径和高度

半径： $r(x) = x$
高度： $h(x) = \sin x$

Step 3: 建立积分并分部积分

V = \int_0^\pi 2\pi\, x \sin x\,dx

令 $u = x$ ， $dv = \sin x\,dx$ ，分部积分：

\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C

最终答案

V = \boxed{2\pi^2}

例 6y = x 与 y = 4x - x² 绕 x = 5 旋转

题目： $y = x$ 与 $y = 4x - x^2$ ，绕直线 $x = 5$ 旋转。

Step 1: 求交点

令 $x = 4x - x^2$ ：

x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0

交点： $x = 0$ 和 $x = 3$

Step 2: 判断上下关系并确定高度

代入 $x = 1$ 检验： $y = 4x - x^2$ 在上方

h(x) = (4x - x^2) - x = 3x - x^2

Step 3: 确定半径

旋转轴 $x = 5$ 在区域右边：

r(x) = 5 - x

Step 4: 建立并展开积分

体积积分

V = \int_0^3 2\pi\,(5-x)(3x-x^2)\,dx

V = 2\pi\int_0^3 (15x - 8x^2 + x^3)\,dx

V = 2\pi\left[\frac{15}{2}x^2 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4\right]_0^3

Step 5: 得到最终答案

最终答案

V = \boxed{\frac{63\pi}{2}}

本章总公式速查表

方法	公式	关键词
两曲线面积	$A = \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$	上减下
截面积求体积	$V = \int_a^b A(x)\,dx$	薄片加总
圆盘法	$V = \int_a^b \pi [R(x)]^2\,dx$	实心圆盘
圆环法	$V = \int_a^b \pi([R(x)]^2-[r(x)]^2)\,dx$	大圆减小圆
壳层法	$V = \int_a^b 2\pi\, r(x)\, h(x)\,dx$	2π × 半径 × 高

高频错误提醒

1. 面积不能为负：一定要确认"上函数 − 下函数"，如果被积函数出现负值，说明你的上下关系搞反了。

2. 圆环法公式勿混淆：是

\pi(R^2 - r^2)

，不是

\pi(R - r)^2

！

3. 半径是距离，永远为正：如果旋转轴在

x = 5

，而壳在

x = 3

处，半径是

5 - 3 = 2

，不是

-2

。

4. 换轴时只改半径：改变旋转轴位置，只需重新计算

r

，高度

h

的计算方式不变。